б) Существует ли многочлен имеющий девять различных действительных корней, все коэффициенты ai которого по модулю не превосходят 0,001?
в) Докажите неравенство
Решение.
а) Неравенство приводится к виду где поскольку Из первого уравнения получаем или Разберем два случая.
Если то или где
При получим и второе уравнение примет вид т. е. или
При получим и второе уравнение примет вид или
Если то или
При получим и второе уравнение примет вид где
При получим и второе уравнение примет вид где
Ответ:
б) Действительно, положим Ясно, что если корни xi достаточно малы, то и коэффициенты многочлена малы. Можно написать явные оценки, но лучше провести следующее рассуждение.
Пусть
Коэффициенты этого многочлена имеют вид Поскольку при то найдется такое натуральное число n, что i = 1, 2, ..., 9.
Ответ: Да, существует.
в) Обозначим Тогда неравенство можно записать в виде
Что верно, поскольку поэтому и
Критерии проверки:
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок:
Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий
Баллы
Верное и полное выполнение задания
3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет
2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка
1
Остальные случаи
0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.
Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.
б) Существует ли многочлен имеющий восемь различных действительных корней, все коэффициенты ai которого по модулю не превосходят 0,001?
в) Докажите неравенство
Решение.
а) Из первого уравнения получаем или Разберем два случая.
Если то или При получим и второе уравнение примет вид отсюда При получим и второе уравнение примет вид т. е.
Если то можно поменять мысленно местами x и y и получить предыдущий случай.
Ответ:
б) Да, существует. Рассмотрим многочлен
Пусть и Рассмотрим тогда многочлен
Этот многочлен имеет корни и его коэффициенты не превосходят
в) Обозначим Тогда неравенство можно записать в виде
Что верно, поскольку поэтому и
Критерии проверки:
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок:
Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий
Баллы
Верное и полное выполнение задания
3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет
2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка
1
Остальные случаи
0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.
Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.
Следовательно, все углы — прямые, поскольку для выпуклого многоугольника Таким выпуклы м n-угольником может быть только прямоугольник
Ответ: это прямоугольники.
Критерии проверки:
Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, +
в соответствии с критериями.
Вид погрешности или ошибки
Отметка в работе
Баллы
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения
+
10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка
+
9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка
±
7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено
∓
5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)
∓
3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок
−
2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата
Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов.
Грубые ошибки:
I. Логические, приводящие к неверному заключению.
II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа.
III. Неверный чертеж в геометрических задачах.
IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.
имеющий девять различных действительных корней, все коэффициенты ai которого по модулю не превосходят 0,001?
где 
поскольку 
Из первого уравнения получаем 
или 
Разберем два случая.
то 
или 
где 
и второе уравнение примет вид 
т. е. 
или 
получим 
и второе уравнение примет вид 
или 
то 
или 
и второе уравнение примет вид 
где 
получим 
и второе уравнение примет вид 
где 
Ясно, что если корни xi достаточно малы, то и коэффициенты многочлена 
малы. Можно написать явные оценки, но лучше провести следующее рассуждение.
Поскольку 
при 
то найдется такое натуральное число n, что 
i = 1, 2, ..., 9.
Тогда неравенство можно записать в виде
поэтому 
и 
имеющий восемь различных действительных корней, все коэффициенты ai которого по модулю не превосходят 0,001?
Разберем два случая.
отсюда 
При 
т. е. 
то можно поменять мысленно местами x и y и получить предыдущий случай.
и 
Рассмотрим тогда многочлен 
и его коэффициенты не превосходят 
Тогда неравенство можно записать в виде
поэтому 
и 
и 
Найдите 
вместо 
и преобразуем полученное равенство (учитываем, что в силу 
которых удовлетворяют соотношению
Таким выпуклы м n-угольником может быть только прямоугольник 
и 
Тогда 
Значит,
Тогда
Тогда
и 
Тогда
то есть 
при 
Получаем
тогда получим: 
тогда
то 
Если 
то 
то 
то 
или 
Следовательно, исходная система имеет два решения: 
и 
